Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.
Так как прямоугольник является параллелограммом, то он обладает всеми свойствами параллелограмма: в прямоугольнике противоположные стороны равны, а диагонали точкой пересечения делятся пополам.
Диагонали прямоугольника равны.
На рисунке изображен прямоугольник ABCD с диагоналями AC и BD. Прямоугольные треугольники ACD и DBA равны по двум катетам (СВ=BA, AD- общий катет). Отсюда следует, что гипотенузы этих треугольников равны, то есть AC=BD, что и требовалось доказать.
Теперь докажем обратное утверждение (признак прямоугольника).
Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольник.
Пусть в параллелограмме ABCD диагонали AC и BD равны (рисунок выше). Треугольники ABD и DCA равны по трём сторонам (AB=DC, BD=CA, AD-общая сторона). Отсюда следует, что ∠A=∠D. Так как в параллелограмме противоположные углы равны, то ∠A=∠C и ∠B=∠D. Таким образом, ∠A=∠B=∠C=∠D. Параллелограмм – выпуклый четырёхугольник, поэтому ∠A+∠B+∠C+∠D=360º. Отсюда следует что, ∠A=∠B=∠C=∠D=90º, то есть параллелограмм ABCD является прямоугольником.