Предмет стереометрии. Аксиомы стереометрии

Стереометрия – это раздел геометрии, в котором изучают свойства фигур в пространстве. Слово “стереометрия” происходит от греческих слов “стереос” – объёмный, пространственный и “метрео” – измерять.

Самыми простыми и основными фигурами в пространстве являются точки, прямые и плоскости. Наряду с этими фигурами рассматривают геометрические тела и их поверхности. Представление о геометрических телах дают окружающие нас предметы. Поверхности тел составленные из многоугольников называются многогранниками. Одним из простейших многогранников является куб (кубик рубик имеет форму куба). Капли жидкости в невесомости принимают форму геометрического тела, называемого шаром. Такую же форму имеет футбольный мяч. Консервная банка имеет форму геометрического тела, называемого цилиндром.

В отличии от реальных предметов геометрические тела, ка и всякие геометрические фигуры, являются воображаемыми объектами. Мы представляем геометрическое тело как часть пространства, определённую от остальной части пространства поверхностью – границей этого тела. Граница шара есть сфера, а граница цилиндра состоит из двух кругов – оснований цилиндра и боковой поверхности.

Изучая свойства геометрических фигур – воображаемых объектов, мы получаем представление о геометрических свойствах реальных предметов (их формы, взаимное расположение и так далее) и можем применять эти свойства на практике.

При изучении планиметрии основными фигурами были точки и прямые. В стереометрии наряду с ними рассматривается ещё одна основная фигура – плоскость. Представление о плоскости даёт гладкая поверхность стола или стены. Плоскость как геометрическую фигуру следует представлять себе как простирающийся неограниченно во все стороны.

Плоскости обозначатся греческими буквами α, β, γ и так далее. На рисунках плоскости обозначаются в виде параллелограмма или в виде произвольной области

Понятно, что в каждой плоскости лежат какие-то точки пространства, но не все точки пространства лежат в одной и той же плоскости.

Аксиомы стереометрии

Аксиома А1

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна

Если взять не три, а четыре произвольные точки, то через них может не проходит ни одна плоскость. Просто четыре точки могут не лежать в одной плоскости. Каждый знаком с наглядным подтверждением этого факта: если ножки стула не одинаковые по длине, то стул стоит на трёх ножках, то есть опирается на три “точки”, а конец четвертой ножки ( четвёртая “точка”) не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе. 

Аксиома А2

Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.

В таком случае говорят, что прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую

Из данной аксиомы следует,  если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более одной общий точки. Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.

Аксиома А3

Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

В таком случае говорят, что плоскости пересекаются по прямой. Наглядной иллюстрацией данной аксиомы является пересечение двух смежных стен, стены и потолка комнаты.