Первые числа, с которыми мы знакомы – это натуральные числа: 1, 2, 3, 4, 5, … Множество натуральных чисел обладает тем свойством, что сумма и произведение любых двух натуральных чисел является натуральными числами, а вот разность и частное необязательно является натуральными числами.
После натуральных чисел идет множество целых чисел. Множество целых чисел состоит из натуральных чисел, целых отрицательных чисел и числа “нуль”: … -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …. Сумма, разность и произведение любых двух целых чисел являются целыми числами, а частное не всегда целое число.
Далее идут рациональные числа. Число называется рациональным, если его можно представить в виде дроби, где p – целое число, а q – натуральное.
Сумма, разность, произведение и частное любых двух рациональных чисел является рациональными числами ( обращаю внимание на нуль делить нельзя).
Каждое рациональное число может быть разложено в бесконечную десятичную периодическую дробь (для нахождения этого разложения можно просто разделить числитель дроби p на её знаменатель q).
Верно и обратное: каждая периодическая дробь есть десятичное разложение некоторого рационального числа.
Наряду с бесконечными десятичными периодическими дробями существуют и бесконечные десятичные непериодические дроби, которые называют иррациональными числами.
Рациональные и иррациональные числа составляют множество всех действительных чисел.
Действительное число – это число, которое можно записать в виде бесконечной десятичной дроби. Если число рациональное, то дробь периодическая; если число иррациональное, то дробь непериодическая.