Теорема
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.
Доказательство
Рассмотрим прямую a и не лежащую на ней точку M. Докажем, что через прямую a и точку M проходит плоскость. отметим на прямой a две точки A и B. Точки M, A и B не лежат на одной прямой, поэтому согласно аксиоме А1 через эти точки проходит некоторая плоскость α. Так как точки прямой a (A и B) лежат в плоскости α, то по аксиоме A2 плоскость α проходит через прямую a.
Единственность плоскости, проходящий через прямую a и точку M, следует из того, что любая плоскость, проходящая через прямую a и точку M, проходит через точки M, A и B. Следовательно, эта плоскость совпадает с плоскостью α, так как по аксиоме А1 через точки M, A и B проходит только одна плоскость. Теорема доказана.
Теорема
Через две пресекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.
Рассмотрим прямые a и b, пересекающиеся в точке M, и докажем, что через эти прямые проходит плоскость, и притом только одна.
Отметим на прямой b какую-нибудь точку A, отличную от точки M, и рассмотрим плоскость α, проходящую через точку A и прямую a. Так как две точки прямой b лежат в плоскости α, то аксиоме А2 плоскость α проходит через прямую b. Итак, плоскость α проходит через прямые a и b. Единственность такой плоскости следует из того, что любая плоскость, проходящая через прямые a и b, проходит через точку А. Следовательно, она совпадает с плоскостью α, поскольку через точку А и прямую a проходит только одна плоскость. Теорема доказана.