Арифметическая прогрессия и ее свойства

Арифметическая прогрессия – числовая последовательность, такая, что каждый ее член равен предыдущему, сложенному с постоянным для всех членов числом, называемой разностью арифметической прогрессии. Арифметическая прогрессия (АП) задается первым членом и разностью.

Формула n- члена АП: аn=a1+(n-1)d   где a1– первый член АП. d-разность АП.
По определению АП  аn=an-1+d=an-2+2d= …. =a1(n-1)d
Если каждый член АП больше предыдущего, то прогрессия возрастающая, а если меньше предыдущего, то убывающая. Можно заметить, что при d>0 АП возрастает, а при  d<0 убывает.

Теорема 1: Числовая последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда любой ее член выражается через последующий и предыдущий по формуле  an= (an-1+an+1):2 ,   n≥2
Доказательство: an-an-1=an+1 – an   ⇒ an= (an-1+an+1):2

Теорема 2: Сумма n первых членов АП равна S=n(a1+an):2
Доказательство: 2S=(a1+an)+(а2n-1)+ …+(an+a1)
В каждой скобке – сумма вида (an-k+a1+k), где k=0,1, …,n-1;
(an-k+a1+k)=(аn-kd+a1+kd)=(аn+a1) таких скобок n штук, то есть 2S=n(a1+an)  ⇒ S=n(a1+an):2

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте как обрабатываются ваши данные комментариев.